Descente pour les n-champs Andre Hirschowitz 1et Carlos Simpson 2 Abstract We develop the theory of n-stacks (or more generally Segal n-stacks which ar* *e 1-stacks such that the morphisms are invertible above degree n). This is done by systema* *tically using the theory of closed model categories (cmc). Our main results are: a de* *finition of n-stacks in terms of limits, which should be perfectly general for stacks of* * any type of objects; several other characterizations of n-stacks in terms of "effectivit* *y of descent data"; construction of the stack associated to an n-prestack; a strictification* * result saying that any "weak" n-stack is equivalent to a (strict) n-stack; and a descent resu* *lt saying that the (n + 1)-prestack of n-stacks (on a site) is an (n + 1)-stack. As for other * *examples, we start from a "left Quillen presheaf" of cmc's and introduce the associated Sega* *l 1-prestack. For this situation, we prove a general descent result, giving sufficient condit* *ions for this prestack to be a stack. This applies to the case of complexes, saying how comp* *lexes of sheaves of O-modules can be glued together via quasi-isomorphisms. This was* * the problem that originally motivated us. Resume On developpe une theorie des n-champs (plus exactement celle des n-champs de* * Se- gal, qui sont des 1-champs ou les morphismes sont inversibles en degre n). Po* *ur cela on utilise systematiquement la theorie des categories de modeles fermees (* *cmf). Nos contributions principales sont: une definition de n-champ en termes de limites,* * qui est par- faitement generalisablea toutes sortes d'autres champs; plusieurs autres caract* *erisations des n-champs en termes d'"effectivite" des donnees de descente; la construction* * du champ associea un n-prechamp; un resultat de strictification assurant que tout n-cham* *p "faible" estequivalenta un n-champ (strict); et un resultat de descente affirmant que le* * (n + 1)- prechamp des n-champs (sur un site) est un (n + 1)-champ. Pour d'autres exemple* *s, nous partons d'un prefaisceau de cmf "de Quillena gauche" et introduisons le 1-prech* *amp de Segal associe. Dans ce cadre, nous prouvons un resultat de descente general do* *nnant des conditions suffisantes pour que ce prechamp soit un champ. Ceci s'applique* * au cas des complexes, et dit comment on peut recoller des complexes de O-modulesa l'ai* *de de quasi-isomorphismes. C'est ce probleme quietait la motivation initiale du prese* *nt travail. ________________________________ 1Universite de Nice-Sophia Antipolis, Parc Valrose, 06108 Nice cedex 2, Fran* *ce 2CNRS, Laboratoire Emile Picard, Universite Toulouse 3, 31062 Toulouse cedex* *, France 1 Sommaire_____ 1. Introduction_p. 4 Motivation, description des resultats. 2. Les n-categories de Segal_p. 16 Definition des n-categories de Segal, troncation, interieur. La methode gener* *ale pour obtenir une structure de cmf, et son application aux n-categories de Segal. Les classe* *s d'homotopie de morphismes. 3. Les n-prechamps de Segal_p. 36 La structure de cmf pour les n-prechamps de Segal (notions d'equivalence faibl* *e, de cofibration, de fibration), comparaison avec la topologie grossiere, compatibilite avec la * *troncation, proprete. Donnees de descente. 4. Les fonctorialites p*, p*, p!_p. 50 Relation entre n-prechamps de Segal sur X et Z pour un foncteur p : Z ! X , cr* *iteres de preservation des objets fibrants. 5. La structure de type Bousfield-Kan d'apres Hirschhorn_p. 54 La structure HBKQ de cmf pour les n-prechamps de Segal, ou les cofibrations so* *nt obtenues par libre addition de cellules; applicationa la notion de donnee de descente. 6. Le point de vue de la localisation_p. 61 Les cmf de n-prechamps de Segal pour la topologie G peuvent ^etre obtenuesa pa* *rtir des cmf pour la topologie grossiere par inversion de fleches correspondant aux cribles* * de G. 7. Categories de Segal et categories simpliciales_p. 66 Relation entre les 1-categories de Segal et les categories simpliciales; produ* *its et coproduits homotopiques et l'argument de Gabriel-Zisman. 8. Localisation de Dwyer-Kan_p. 71 La localisation de Dwyer-Kan fournit beaucoup d'exemples de categories simplic* *iales, et permet en outre de montrer que toute 1-categorie de Segal estequivalentea une categor* *ie simpliciale. 9. Premiere definition de champ_p. 85 Definition de n-champ de Segal comme n-prechamp de Segal A dont les A(X) sont * *des n- categories de Segal et pour lequel le morphisme A ! A0vers le remplacement G-f* *ibrant est une equivalence objet-par-objet. Notion de champ associe, compatibilites. 10. Criteres pour qu'un prechamp soit un champ_p. 92 A est un n-champ de Segal si et seulement si les A1=(x; y) sont des n - 1-cham* *ps de Segal sur X =X pour tout x; y 2 A0(X), et si les donnees de descente pour un crible B X* * =X sont effectives. On a plusieurs versions de ce critere. 11. Categories de modeles internes_p. 106 On definit la notion de categorie de modeles interne et on l'utilise pour defi* *nir le n+1-prechamp nSeCHAMP____(X ) des n-champs de Segal au-dessus de X , ainsi que sa n + 1-cat* *egorie de Segal nSeCHAMP (X ) de sections globales. Comparaison avec la localisee de Dwyer-Kan. 2 12. La famille universelle_p. 123 On definit un morphisme nSeCHAMP (X ) ! Hom__(X o; nSeCAT 0), on montre qu'il * *est pleine- ment fidele (et onenonce le resultat 12.1 qui identifie son image essentielle)* *. Ceci nous conduit a une nouvelle version de la notion de champ. 13. Le champ associea un prechamp_p. 134 On definit le foncteur "champ associea un prechamp" de nSeCHAMP (X gro) vers nSeCHAMP (X G), qui est adjoint au foncteur d'inclusion dans l'autre sens. 14. Limites_p. 142 Calcul des limitesa l'aide des structures de cmf; definition des champs en ter* *mes de limites. 15. Un peu plus sur la condition de descente_p. 145 On refait les criteres de x10 en termes de limites, et on explicite le calcul * *de ces limites dans le cas d'un crible defini par une famille couvrante, en termes de limites prises * *au-dessus de . 16. La construction de Grothendieck_p. 151 On construit la "n-categorie fibree" associeea un n-prechamp au-dessus d'une c* *ategorie, opera- tion notee comme une integrale suivant Thomason. On compare les sections du n-* *prechamp et celles de la n-categorie fibree associee. 17. Prefaisceaux de Quillen_p. 169 On introduit la notion de prefaisceau de Quillena gauche, une sorte de prefais* *ceau de cmf ou les foncteurs de restriction sont des foncteurs de Quillena gauche. On donne d* *iverses structures de cmf pour les sections de l'integrale d'un prefaisceau de Quillen. 18. Strictification_p. 182 On strictifie les sections faibles des 1-prechamps de Segal qui proviennent de* * prefaisceaux de Quillen par localisation de Dwyer-Kan. Ceci permet de strictifier des famille* *s faibles de n- categories de Segal, en n-prechamps de Segal. Fin de la preuve de 12.1. 19. La descente pour les prefaisceaux de Quillena gauche_p. 206 Pour un prefaisceau de Quillena gauche M on donne un critere pour que le 1-pre* *champ de Segal associe L(M) soit un champ. 20. Exemple: la descente pour les n-champs_p. 219 On utilise le critere du x19 pour prouver que nSeCHAMP____(X ) est un n + 1-ch* *amp de Segal. Ceci generalise le theoreme classique de recollement des faisceaux. On donne a* *ussi une preuve directe. 21. Exemple: la descente pour les complexes_p. 228 On utilise le critere du x19 pour prouver que L(CpxO ; qis) est un 1-champ de * *Segal, pour un site annele raisonnable (X ; O). Onenonce un resultat de geometricite pour le champ* * de modules des complexes parfaits. 3 1. Introduction La descente: des modules aux complexes Pour donner une idee du contenu du present travail, on peut l'aborder, en premi* *ere ap- proximation, comme une contributiona la theorie des complexes de faisceaux de m* *odules. Pour le mettre en perspective, nous commencons par resumer la theorie des faisc* *eaux de modules localement libres (de rang fixe r): Il existe un champ BG, muni d'un module universel U et d'un fibre universel * *dont U est le module des sections. Ce champ "classifie" les modules localement libres * *de rang r sur les schemas en ce sens que le champ de modules F ibX;rde tels modules sur u* *n schema X s'identifie au champ des morphismes de X vers BG. Le champ BG est algebrique et si X est projectif, il en est de m^eme pour F ibX;r. Le champ BG est un ouve* *rt dans (au moins) deux champs plus generaux Coh et Qcoh qui classifient respectivement* * les faisceaux coherents et quasi-coherents (on n'entre pas ici dans les details con* *cernant en particulier la topologie choisie). Le fait que Qcoh soit un champ signifie plus* * concretement que les donnees de descente pour un module quasi-coherent (ou pour un morphisme* * en- tre deux modules quasi-coherents) sont effectives. On peut observer que Coh n'* *est pas algebrique, ce qui est un peu contrariant. On se propose de generaliser cette theorie au cas des complexes. Le point cr* *ucial est qu'on veut parler de recollement de complexesa l'aide non pas d'isomorphismes m* *ais de quasi-isomorphismes (compatibles en un sens adequat), de sorte que ce travail r* *eleve dans une large mesure de la theorie de l'homotopie. Les champs dont on vient de parler sont des champs de categories et lorsqu'o* *n se preoccupe d'etendre ce qui precede au cas des complexes, il faut t^ot ou tard o* *rganiser ces complexes en categories munies de structures adequates. La solution qui vient d'aborda l'esprit consistea considerer des categories * *derivees. On peut en effet former par exemple le prechamp DQcoh quia un schema affine Spe* *cA associe la categorie derivee DQcoh(A) de celle des A-modules quasi-coherents. D* *emander si ce prechamp est un champ est la facon savante de demander si on peut recolle* *r des complexesa l'aide de quasi-isomorphismes "compatibles" (i.e. verifiant une con* *dition de cocycle par ailleurs assez technique). Cette question aete tres t^ot reconn* *ue comme impertinente, les objets de ces categories deriveesetant "de nature essentielle* *ment non- recollables" 3([12] Expose 0, p.11). ________________________________ 3Pour le lecteur qui ne serait pas convaincu que cette voie des categories d* *erivees est sans issue, sig- nalons que le sous-prechamp (plein) Parf{0;1}de DQcohdes complexes parfaitsa su* *pport cohomologique dans [0; 1] est bien un champ, mais qu'il n'est pas localement algebrique (au s* *ens d'Artin): en fait, comme on le verra plus loin, le "bon" objet est un 2-champ localement algebrique (au * *sens de [93]). 4 Les homotopies superieures Pour formuler les problemes de recollement des complexes definisa quasi-iso* *morphisme pres, il faut considerer des homotopies superieures, ce qui complique singulie* *rement le tableau. En topologie ordinaire, le prototype d'un tel probleme consiste par * *exemplea recoller sur U1 [ U2 [ U3 [ U4 des donnees du genre suivant: pour 1 i 4, Ci* * est un complexe sur Ui; pour 1 i j 4, fijest uneequivalence d'homotopie entre l* *es restrictions Cijet Cjide Ci et Cja Uij:= Ui\ Uj; pour 1 i j k 4, hijkest u* *ne equivalence d'homotopie entre les restrictions de fjkofijet fika Uijk:= Ui\Uj\U* *k; et les hijkdoivent encore verifier une condition de compatibilite sur U1\ U2\ U3\ U4,* * condition dont la formulation m^eme n'est pas immediate. On concoit facilement comment,* * pour des recouvrements plus complexes (en topologieetale par exemple), la combinato* *ire de ce genre de donnees de descente peut devenir inextricable. La definition que nous* * donnons des donnees de descente depasse (ouevite) les considerations combinatoires. Dans la situation precedente les fijsont des fl^eches entre complexes, les * *hijkdoivent ^etre considerees comme des 2-fleches, et les donnees sur U1 \ U2 \ U3 \ U4 se* *ront des 3-fleches. Concretement, hijkpar exemple est un morphisme d'objet gradue de d* *egre -1 entre Ci et Ck sur Uijk,etablissant une homotopie entre fjkofijet fik. De * *m^eme, l'information cruciale dans une 3-fl^eche est un morphisme d'objet gradue de d* *egre -2 etablissant une homotopie entre morphismes de degre -1, etc. On a donc bien be* *soin d'une notion d'1-categorie comme preconisee par Grothendieck [49], avec des n-* *fleches pour tout n et les lois de composition adequates. Categories simpliciales ou de Segal En fait, une forme rudimentaire d'1-categorie adapteea nos complexes est co* *n- nue depuis trente ans, c'est la notion de categorie simpliciale. Introduite e* *n theorie d'homotopie par Kan et Quillen (voir [83]), cette notion aete reprise par Dwye* *r et Kan [31] [32] [33]: en particulier,a toute categorie M munie d'une sous-categorie* * W , ces auteurs associent une categorie simpliciale "localisee" L(M; W ). Celle-ci ca* *pture bien l'information homotopique concernant le couple (M; W ) dans la mesure ou si M * *est une categorie de modeles fermee (cmf) simpliciale au sens de Quillen, et W sa sous* *-categorie desequivalences, alors L(M; W ) estequivalentea la categorie simpliciale des o* *bjets cofi- brants et fibrants de M. Ceci montre par exemple que la structure simpliciale* * sur une cmf est uniqueaequivalence pres, et m^eme ne depend (toujoursaequivalence pres* *) que de la sous-categorie desequivalences. Plus particulierement, dans la situation des complexes si Ch designe la cat* *egorie des complexes et qis la sous-categorie desequivalences faibles, alors la categorie* * simpliciale L(Ch; qis) represente adequatement la theorie homotopiquement des complexes. 4 ________________________________ 4Ceci veut dire que si A.et B.sont des complexes alors l'ensemble simplicia* *l de morphismes dans L entre A.et B.estequivalentea l'ensemble obtenu par application de la construct* *ion de Dold-Puppe au 5 Pour des raisons techniques, nous utilisons systematiquement la notion un pe* *u plus generale de categorie de Segal: une categorie de Segal est une categorie simpli* *ciale "large", en ce sens qu'on n'impose pas que la composition soit strictement associative. * * Toute categorie simpliciale est une categorie de Segal et, inversement, on montre que* * toute categorie de Segal estequivalentea une categorie simpliciale (x7). Les problemes poses Ainsi les complexes de faisceaux de modules s'organisent (par exemple sur le* * siteetale) en prefaisceaux de categories de Segal. Entre autres, on peut definir D+ par D+* * (SpecA) = L(Ch+(A); qis), ou Ch+(A) est la categorie des complexes de A-modules bornesa g* *auche et qis sa sous-categorie des quasi-isomorphismes. On peut maintenant exprimer * *de la facon suivante les problemes auxquels le present travail est consacre: o identifier les problemes de descente pertinents concernant de tels prefais* *ceaux; o formuler ces problemes dans le cadre d'une theorie des champs (generalises* *; dans cette introduction on dira 1-champs) adaptee aux categories de Segal; dans* * cette theorie, il faudra bien entendu que les champs soient les prechamps dans l* *esquels les donnees de descente se recollent; o identifier une classe de tels prefaisceaux, contenant nos prefaisceaux de * *complexes, et dans lesquels ces problemes de descente admettent une solution. Au nombre des problemes de descente qu'on veut traiter doivent figurer les p* *roblemes "concrets" de recollement concernant les complexes, dont nous donnons maintenan* *t des exemples. Signalons toutefois que nous n'abordons pas directement ces problemes* * dans le present travail_notre butetant dans un premier temps de mettre en place le cadr* *e dans lequel de telles questions doivent naturellement ^etre considerees_et nous ne l* *es formulons donc qu'en guise de motivation. o Soit k un corps, X un k-schema regulier, et F un faisceau coherent sur X. * * On sait que F admet localement des resolutions projectives finies. Peut-on re* *coller ces resolutions en un objet global? ________________________________ complexe tronque o0 Hom .(A.; B.). On peut noter qu'une categorie simpliciale L* * donne lieu (suivant l'idee de Grothendieck [49])a une 1-categorie 1 O L par application de la const* *ruction "1-groupoide de Poincare" 1a chacune des ensembles simpliciales HomL(x; y). Dans cette 1-ca* *tegorie pour les complexes, l'1-categorie des morphismes entre deux complexes estequivalentea fl* *Hom .(A.; B.), ou fl est la construction bien connue quia un complexe de groupes abeliens F. associe* * l'1-categorie stricte fl(F.) dont les objets sont les x 2 F0 avec d(x) = 0, les morphismes entre x; y* * sont les f 2 F-1 avec d(f) = y - x, les 2-morphismes entre f et g sont les u 2 F-2 avec d(u) = g - f * *ainsi de suite. 6 o Dans [12] 0.4.4, pour un morphisme f : X ! Y de schemas, on construit loca* *lement dans X un complexe cotangent bien definia quasi-isomorphisme pres. Peut-on recoller ces constructions locales? 5 o Toujours dans [12] (e.g. 0.4.2), on pose le probleme (ulterieurement reso* *lu par Deligne et Illusie, voir [62] I.4.2) de la definition des puissances exter* *ieures d'un complexe parfait, que nous reformulonsa notre convenance: sachant qu'on p* *eut definir, sur les complexes bornes de modules libres de type fini, un fonct* *eur puis- sance symetrique iqui transforme quasi-isomorphismes en quasi-isomorphisme* *s, et sachant que les complexes parfaits sont ceux qui sont localement quasi-iso* *morphesa des complexes bornes de faisceaux libres de type fini, comment definir la * *puissance symetrique d'un complexe parfait? o Dans les travaux de O'Brian, Toledo et Tong [77], [78], [104], [105], [106* *] consacresa une autre question issue de SGA 6, celle des formules de Riemann-Roch, on * *trouve des calculs de Cech qui sont certainement un exemple de situation de desce* *nte pour les complexes. Un meilleur cadre general pour ces calculs pourrait contri* *buera notre comprehension des formules de Riemann-Roch. o Il y a certainement d'autres applications potentielles que celles qui conc* *ernent les complexes, voir par exemple le travail de Hinich [57] qui traite un proble* *me de de- scente pour des 1-groupo"ides en relation avec un probleme de descente cor* *respondant pour des prefaisceaux d'algebres de Lie differentielles gradues. Les 1-champs Avant de presenter notre vision des donnees de descente, il nous faut expliq* *uer notre theorie des 1-champs. On a compris plus haut qu'il nous faut_au minimum_une the* *orie des champs de categories simpliciales (ou de Segal), comme on a une theorie des* * champs d'ensembles (les faisceaux) et une theorie des champs de categories (les champs* * "clas- siques"). Et dans une theorie des champs de categories simpliciales, le champ d* *es mor- phismes entre deux objets (i.e. sections sur un ouvert) devra ^etre un champ d'* *ensembles simpliciaux. On voudrait donc bien d'une theorie des -champs, ou pourrait ^et* *re in- differemment la categorie des ensembles ou celle des categories, ou celle des c* *ategories simpliciales, ou encore celle des ensembles simpliciaux. Un -prechamp sur un si* *te X est alors un prefaisceau sur Xa valeurs dans (on prend des prefaisceaux stricts po* *ur sim- plifier, et parce qu'on espere qu'au bout du compteca revient au m^eme). Et l'i* *dee (na"ive) ________________________________ 5Dans loc. cit. on considere qu' "il n'est pas possible de proceder par simp* *le recollement" et on s'en tire autrement. 7 pour exprimer qu'un -prechamp F est un -champ consisteraita demander que pour tout X 2 X et tout crible B couvrant X, F (X) soit la limite (dans ) de la res* *triction de Fa la categorie B. Si est la categorie des ensembles on retrouveevidemmen* *t la notion de faisceau, mais si est la categorie des categories,ca ne va plus. Po* *ur rectifier le tir et retomber dans ce cas sur les champs usuels, il suffit de munir de s* *a structure de 2-categorie et de demander que F (X) soit la 2-limite (dans ) de la restric* *tion de F a B. Pour generaliser cette situation, on va donc considerer que est une 1-ca* *tegorie 6 dans laquelle on sait specifier les limites homotopiques (il n'est pas neces* *saire qu'elles existent). On peut alors, suivant une suggestion formulee par le second auteur* * dans [95] 6.4, dire qu'un -champ est un -prechamp F tel que pour tout X 2 X et tout crib* *le B couvrant X, F (X) soit la limite (dans ) de la restriction de Fa la categorie * *B. Les 0-champs de Segal Dans le cas ou est l'1-categorie (techniquement: la 1-categorie de Segal) * *des ensem- bles simpliciaux, nous confrontons avec succes ce point de vue avec la theorie* * existante des prefaisceaux simpliciaux, developpee par K. Brown [19], Illusie [62], Joya* *l dans une lettrea Grothendieck [65], Jardine [63], et Thomason [100]. 7 Dans ce cas on d* *ispose de la notion de limite homotopique introduite par Bousfield et Kan [15] et nos -c* *hamps, que nous appelons 0-champs de Segal, constituent une classe de prefaisceaux si* *mpliciaux deja consideree par Jardine (les prefaisceaux flasques par rapporta tout objet* * du site [63]) et, dans le cadre tres voisin des prefaisceaux de spectres, par Thomason* * [100]. A tout prefaisceau simplicial (ou 0-prechamp de Segal), on sait associer naturel* *lement un 0-champ de Segal ayant les m^emes faisceaux (et non prefaisceaux) d'homotopie. Les n-champs de Segal Il est donc naturel d'etendre cette demarche au cas des categories simplici* *ales ou de Segal. Pour cela, il nous faut munir la classe des categories de Segal d'une* * structure d'1-categorie (techniquement, c'est une 2-categorie de Segal) ou l'on puisse d* *efinir la notion de limite (homotopique). Pour prendre de la marge, on definit carremen* *t les n- categories de Segal (x2): leur construction suit de pres celle des n-categorie* *s de Tamsamani [98]. Les 0-categories de Segal sont les ensembles simpliciaux, et les (n + 1* *)-categories de Segal sont des objets simpliciaux dans la categorie des n-categories de Seg* *al verifiant les conditions (de Segal) qui expriment que la composition,a defaut d'^etre bi* *en definie ________________________________ 6On ne prend pas la peine ici de donner une definition d'1-categorie: on co* *nsidere simplement que les n-categories de Tamsamani [98] ainsi que leurs variantes introduites ci-dessou* *s, les n-categories de Segal, sont des 1-categories. 7On a m^eme la 1-categorie (categorie simpliciale ici) des foncteurs faible* *s de X overs gr^ace au travail de Cordier et Porter [24]. 8 et associative, est definie et associativea homotopie pres. L'avantage des n-c* *ategories de Segal sur les ensembles simpliciaux reside dans le fait qu'on peut y trouver* * des i- morphismes non-inversibles, du moins pour i n. Gr^acea la notion de cmf inter* *ne (x11), on montre qu'a des considerations de nature ensembliste pres, les n-cate* *gories de Segal s'organisent en une (n + 1)-categorie de Segal nSeCAT (x11), ou l'on sait* * definir les limites homotopiques (x14). On peut donc introduire les (-)champs de n-categori* *es de Segal, que nous appelons n-champs de Segal. Techniquement, on commence par donn* *er une definitiona la Jardine des n-champs de Segal (x9) et ce n'est qu'au x14 qu'* *on retrouve la belle definition mentionnee plus haut. Le probleme de la descente des comple* *xes prend alors la forme suivante: le 1-prechamp de Segal des complexes est-il un 1-champ* * de Segal? Donnees de descente generalisees Cette formulation n'est pas totalement satisfaisante, dans la mesure ou l'on* * ne voit pas suffisamment bien comment elle recouvre les exemples concrets mentionnes pl* *us haut. Heureusement, nous savons introduire une notion de donnee de descente (et aussi* *, bien s^ur, de donnee de descente effective)a valeurs dans un n-prechamp de Segal, qu* *i joue le r^ole qu'on attend d'elle. En fait, on explique ici ce qu'on appelle donnee * *de descente generalisee (dddg) et on commence par le cas plus familier des prefaisceaux sim* *pliciaux: une dddga valeurs dans le prefaisceau simplicial A sur le site X est un morphis* *me de prefaisceaux simpliciaux ffi : D ! A ou D est contractile en ce sens que le 0-c* *hamp de Segal associea D estequivalenta l'objet final *X . (Un tel D est essentiellement la m* *^eme chose qu'un hyper-recouvrement au sens de Verdier [4].) Une telle donnee ffi est dite* * effective si elle estequivalentea une donnee ffi0: D ! A qui se factorisea travers *X . Ces * *definitions s'etendent sans changement au cas ou A est un n-prechamp de Segal, les prefaisc* *eaux simpliciaux pouvant aussi ^etre vus comme des n-prechamps de Segal (x2). Il convient d'observer que la question de l'effectivite des dddg dans un n-p* *rechamp de Segal A ne concerne que l'interieur Aintde A: l'interieur d'une n-categorie * *de Segal S est l'ensemble simplicial obtenua partir de S grosso modo en ne conservant qu* *e les morphismes (de tous ordres) qui sont inversiblesa homotopie pres, et cette cons* *truction s'etendevidemment aux n-prechamps de Segal. La definition precedente rend bien compte des exemples "concrets" mentionnes* * plus haut. Ainsi, pour le premier exemple, on peut prendre le prefaisceau simplicia* *l (con- tractile) D tel que D(U) soit l'ensemble 8 simplicial des resolutions projectiv* *es finies de la restriction de Fa U: les 1-simplexes sont les quasi-isomorphismes entre res* *olutions (compatiblesa l'augmentation). . . . ________________________________ 8Ici comme ailleurs dans ce travail, on ne pr^ete pas trop d'attention aux q* *uestions lieesa la difference entre ensemble et classe. 9 Caracterisation des n-champs de Segal par la descente Pour expliquer en quoi nos notions de champs sonta leur tour adapteesa ces n* *otions de donnees de descente, il nous faut introduire quelques notations. Si A est une n* *-categorie de Segal, les (1-)morphismes de A s'organisent en une nouvelle (n - 1)-categori* *e de Segal qu'on note F l(A). Si x et y sont deux objets de A, on note F l(A)(x; y) la sou* *s- (n - 1)- categorie de Segal de F l(A) des morphismes de source x et but y. Plus generale* *ment, si x et y sont deux objets de F li-1(A), on note F li(A)(x; y) la sous- (n - i)-ca* *tegorie de Segal de F li(A) des morphismes de source x et but y. 9 Ces notations s'etenden* *t au cas ou A est un n-prechamp de Segal sur un site X : F li(A) est alors un nouveau (n* * - i)- prechamp de Segal sur X , et si x et y sont des sections de F li-1(A) sur un ob* *jet U de X , F li(A)(x; y) est un (n - i)-prechamp de Segal sur le site X =U. Avec ces n* *otations, on montre le resultat suivant: Theoreme 1.1 Soit A est un n-prechamp de Segal sur le site X . On suppose qu* *e les valeurs de A sont des n-categories de Segal (cette condition est vide pour n = * *0). Alors les conditions suivantes sontequivalentes: (i) A est un n-champ de Segal; (ii) (a) pour tout X 2 X et tout x; y 2 A0(X) le n-prechamp de Segal F l(A)(x;* * y) sur X =X est un n-champ de Segal; et (b) les donnees de descente pour A sont effectives. (iii) (a') pour tout i 1, pour tout X 2 X et pour tous x; y 2 F li-1(A)(X) le* *s donnees de descentea valeurs dans le (n - i)-prechamp F li(A)(x; y) sont effectives; et (b) les donnees de descentea valeurs dans A sont effectives. Ce theoreme formalise l'idee (qui ressort entre autres de Giraud [43] et Lau* *mon-Moret Bailly [68]) qu'un champ est un prechamp ou les donnees de descente sont effect* *ives, et comme l'effectivite des donnees de descente ne concernent que l'interieur, il c* *aracterise nos n-champs de Segal en des termes propresa la theorie des prefaisceaux simpli* *ciaux. Donnees de descente et topologie grossiere Cependant, la definition m^eme des donnees de descente (generalisees) qu'on * *a formulee plus haut faisait intervenir la notion de 0-champ de Segal et il est donc temps* * de donner notre definition des (vraies) donnees de descentea valeur dans un prefaisceau s* *implicial, puisqu'il reste vrai que ce cas suffit. Soit X un site muni d'un crible B couvr* *ant et d'un prefaisceau simplicial A. Une donnee de descente sur Ba valeurs dans A est un d* *iagramme ffi de prefaisceaux simpliciaux: *B D ! A ________________________________ 9On fait la convention que pour un i donne on remplace nos n-categories de S* *egal par des n0-categories de Segalequivalentes, avec n0> i. 10 ou la fleche de gauche est ce que nous appelons uneequivalence objet-par-objet,* * c'est-a- dire qu'elle induit uneequivalence faible d'ensembles simpliciaux sur chaque ob* *jet U 2 X (ici, bien s^ur, seuls les objets de B sont vraiment concernes). Ceci implique* * que D est contractile et on est bien en presence d'une donnee de descente dans le sens ge* *neralise donne plus haut. On peut observer que la donnee du diagramme ffiequivauta celle* * d'une donnee de descente (generalisee ou non, c'est pareil)a valeurs dans la restrict* *ion de Aa la categorie B munie de la topologie grossiere. Il s'agit la d'un exemple tout-a-f* *ait typique de la facon dont la topologie grossiere intervient systematiquement tout au lon* *g de notre travail. Un autre exemple typique est la facon dont nous decrivons en deux tem* *ps la structure de categories de modeles pour nos prechamps, par localisation de Bous* *fielda partir de la structure correspondanta la topologie grossiere (x6). On dit qu'une donnee de descente est effective si elle estequivalentea une d* *onnee de descente qui se factorisea travers *X . Et lorsque dans le theoreme ci-dessus o* *n dit que les donnees de descentea valeurs dans A sont effectives, on veut dire que pour * *tout objet X de X et tout crible B couvrant X =X, toute donnee de descente sur Ba valeurs * *dans A * |X =X est effective. Les deux temps de la descente et les constructions de Grothendieck Le probleme de l'effectivite des donnees de descente dans un n-prechamp de S* *egal A sur un site X (admettant un objet final) se decompose naturellement en deuxetap* *es. En effet, une donnee de descente ffi comme plus haut s'insere dans un diagramme: *X *B D ! A; Puisqu'il s'agit de factoriser,aequivalence pres, le morphisme donne D ! Aa tra* *vers *X , on peut d'abord chercher une telle factorisationa travers *B. Si donc on q* *ualifie de strictes les donnees de descente avec D = *B, on peut formuler d'une part le pr* *obleme de la strictification des donnees de descente, qui consistea montrer que toute * *donnee de descente estequivalentea une donnee de descente stricte, et d'autre part cel* *ui de l'effectivite des donnees de descente strictes. Techniquement, les choses se presentent un peu differemment. Pour montrer q* *u'un prechamp de Segal A sur X est un champ de Segal, on utilise la definition par l* *imite. On doit donc comparer A(X) avec la limite homotopique mentionnee plus haut, dis* *ons (B; A). Pour identifierRcette limite, on suit le chemin trace dans [51]: on con* *struit une categorie deRSegal BA au-dessus de Bo avec l'espoir d'identifier (B; A)a une c* *ategorie de sections de BA ! Bo. En fait, on trouve (x16) que (B; A) estequivalenteaRla ca* *tegorie de Segal des sectionsR"equilibrees" (ou eq-sections) non pas de BA ! Bo mais d* *e son remplacement fibrant 0BA ! Bo. Ce remplacement fait referencea une structure d* *e cmf 11 pour les categories de Segal (x2). On veut donc montrer qu'un morphisme compose Z Z 0 A(X) ! Secteq( A) ! Secteq( A) B B est uneequivalence. On peut voir le terme de droite comme une categorie de donn* *ees de descente (a droite ?) et celui du milieu comme la sous-categorie des donnees de* * descente strictes (on n'a pas chercheaetablir de correspondance entre ces nouvelles noti* *ons de donnees de descente et les anciennes), et le probleme de l'effectivite se decom* *posea nouveau en deuxetapes. Ces deuxetapes seront traites chacuna son tour dans nos x18 et x19. Pour re* *ster strictement en conformite avec ce qui se passe dans le papier, il faudrait dire* * que cette situation de "strictification" des donnees de descente a lieu non au-dessus de * *B mais au- dessus de la categorie via un foncteur ae(U) : ! B, dans le cas ou B est le c* *rible engendre par un objet U recouvrant X. En quelque sort approxime B via le fonct* *eur ae(U) et pour des raisons techniques il nous est plus commode de travailler au-* *dessus de . Il se trouve que le probleme de l'effectivite des donnees de descente strict* *es a dejaete resolu pour nos complexes de modules sur un topos annele dans l'expose Vbis de * *SGA 4 II [3] de Saint-Donat (d'apres des "notes succinctes" de Deligne). Au x19, nous* * donnons un resultat plus general pour cetteetape "stricte". Prefaisceaux de Quillen Nous avons donc mis en place ce formalisme des champs de Segal qui constitue* * un cadre naturel pour la theorie de l'homotopie relative (au-dessus d'un site), da* *ns lequel nous pouvons reformuler le probleme de la descente: trouver des conditions pour* * qu'un prechamp de Segal soit un champ (de Segal). Comme l'ecrit Jardine dans [63], la* * structure organisationnelle pour la theorie de l'homotopie est celle de categorie de mode* *les fermee (cmf) de Quillen [83]. La theorie des champs de Segal que nous avons mise en pl* *ace est le cadre naturel de la theorie de l'homotopie relative (au-dessus d'un site) et* * la structure organisationnelle correspondante est tout naturellement une structure de prefai* *sceau de cmf: nous appelons prefaisceau de Quillen tout prefaisceau de cmf dans lequel * *les re- strictions sont ce qu'on appelle des foncteurs de Quillen (a gauche). Si M est* * un tel prefaisceau de Quillen sur un site X , on peut lui associer le 1-prechamp de Se* *gal L(M) sur X obtenu en prenant pour L(M)(X) la categorie simpliciale obtenue en invers* *ant (au sens de Dwyer-Kan) lesequivalences dans M(X). On cherche donc des conditio* *ns suffisantes pour que le prechamp de Segal ainsi associea un prefaisceau de Quil* *len soit un champ de Segal. 12 Un theoreme de descente Nous proposons donc un theoreme (19.4) donnant des conditions suffisantes po* *ur que le prechamp L(M) soit un champ de Segal. C'est bien s^ura partir du cas des com* *plexes que nous avons trouve une telle formulation generale. Les conditions que nous i* *mposons sont de trois ordres. D'abord, nous nous restreignonsa des sites ou, grosso modo, on peut se redui* *rea ne considerer que les donnees de descente definies sur les recouvrementsa un se* *ul ob- jet (et verifiant les conditions de compatibilite adequates sur le complexe de * *Cech du recouvrement). La principale restriction que nous imposons au prefaisceau de Quillen est l'* *existence, dans les valeurs prises (ce sont des cmf), de petites limites et colimites arbi* *traires. Ainsi par exemple notre theoreme ne concerne pas les complexes de faisceaux de type f* *ini. Nous lui imposonsegalement d'autres conditions plus ou moins naturellesa savoir* *: le fait que, dans les valeurs prises, tous les objets soient cofibrants; l'existence de* * factorisations fonctorielles; la compatibilite aux produits fibres; le caractere local desequi* *valences; et la compatibilite aux sommes disjointes. Enfin nous imposons une condition tres technique autorisant l'utilisation de* * l'argument dit "du petit objet" de Quillen pour la construction d'une cmf auxiliaire. La partie la plus delicate de la demonstration consiste en la strictificatio* *n des donnees de descente (x18). Champs de champs C'est enetudiant notre probleme de descente des complexes, que nous nous som* *mes rendu compte qu'il y avait un resultat analogue pour les n-champs eux-m^emes: l* *e n + 1- prechamp nCHAMP____ defini par nCHAMP____(X) := nCHAMP (X =X) est un n-champ (voir les theoremes 20.1 et 20.5). C'est un resultat de "recolle* *ment" pour les n-champs. Par exemple,etant donne des champs FU et FV sur deux ouverts U; V* * d'un espace topologique, avec uneequivalence FU|U\V ~= FV |U\V alors il existe un champ F sur U [ V avec F|U ~=FU et F|V ~=FV . On peut vo* *ir 20.1 et 20.5 comme des generalisations aux n-champs, du resultat classique qui * *dit que le 1-prechamp quia chaque ouvert U associe la categorie des faisceaux d'ensembl* *es (i.e. 0-champs) sur U, est un 1-champ. Le cas n = 1 de cette generalisation se trouv* *e deja 13 dans SGA 1 [51] [43], ou l'on montre que le 2-prechamp 1CHAMP____ des 1-champs * *est un 2-champ. Ce resultat pour n = 2 (qui dit que 2CHAMP____ est un 3-champ) aete utilise,* * sans demonstration, par Breen [18]. On peut dire que notre resultat generalise appro* *ximative- ment la moitie de ce que fait Breen dans [18] (l'autre moitieetant d'exprimer l* *es donnees de descente en termes de cocycles, une chose que nous ne sommes pas arriveesa f* *aire de facon entierement satisfaisante pour n quelconque). En fait, au debut de ce travail, la seule chose que nous pouvions demontrera* * propos des complexesetait que le prechamp des complexes de Q-espaces vectoriels, de lo* *ngueur n fixee,etait un n + 1-champ. Pour prouver ceci, nous avions utilise le resulta* *t disant que le n + 1-prechamp des n-champs est un champ: avec ceci et une versionelementair* *e de la notion de "spectre" (consistant justea faire une translation pour que tout se p* *asse entre les degres N et N + n avec N n + 2) on pouvait obtenir (gr^ace au fait que l'h* *omotopie rationelle stable est triviale) le fait que les complexes de Q-espaces vectorie* *ls de longueur n, est un n + 1-champ. Ce n'est qu'avec l'apport des techniques de pointe en theorie des cmf ([31] * *[32] [33] [34], [59],[30], [46], [61] [60]) que nous avons pu formuler le resultat plus g* *eneral 19.4 qui permet de traiter le cas des complexes de O-modules. Algebricite L'etude plus detaillee des champs de complexes sur les sites de la geometrie* * algebrique fera l'objet d'un autre travail. Nousenoncons simplement au x21 notre principal* * resultat d'algebricite. Historique, travaux connexes et techniques utilisees La notion de 1-champ est aujourd'hui bien enracinee dans la geometrie algebr* *ique, depuis notamment les travaux d'Artin [6], de Deligne-Mumford [25], de Laumon-Mo* *ret Bailly [68], prolonges par de nombreux travaux actuels. Une notion semblable j* *oue un r^ole important en geometrie differentielle (e.g. en geometrie des feuilletage* *s), voir par exemple [36] [76] [79] [54] [55] [75] [74]. 10 En s'appuyant sur la notion de c* *hamp, Giraud a developpe en bas degres la cohomologie non-abelienne [42]. ________________________________ 10On peut citer Moerdijk ([74] Example 1.1 (f)): "Effective etale groupoids * *are well-known to be basically equivalent to pseudogroups. . . " suivi par une referencea Molino [75* *]. Au vu de cette remarque, les travaux d'Ehresmann et al concernent essentiellement des groupo"idesetales * *i.e. des 1-champs de Deligne-Mumford dans le cadre differentiel. Il n'est pas claira nos yeux si cet* *te connexionetait connue d'Ehresmanna l'epoque; en tout cas, ce point de vue est deja present dans les p* *apiers de Pradines [79]; et selon Pradines (communication orale au deuxieme auteur), ce point de vue aete p* *resente par Ehresmann dans son expose au congres international de 1956. 14 Un travail precurseur de la descente pour l'1-champ des complexes est celui * *sur la "descente cohomologique" de B. Saint Donat et Deligne dans SGA 4 [4]. Dans [49], A. Grothendieck propose comme generalisation la notion de n-champ* * ou m^eme de 1-champ, sans toutefois donner une definition precise. En fait, on pe* *ut dire aue la theorie des 1-champs de groupo"ides est deja disponiblea l'epoque de [49* *] par le biais de la theorie des prefaisceaux simpliciaux, gr^ace aux travaux de K. B* *rown [19], Illusie [62], Joyal dans une lettrea Grothendieck [65], Jardine [63], et Thomas* *on [100]. Le biais en question passe par l'equivalence entre la theorie des 1-groupoides * *et celle des espaces topologiques ou ensembles simpliciaux_equivalence pour laquelle ne manq* *uait que la definition de 1-groupo"ide! Plus recemment, la theorie des n-categories pour les petites valeurs de n ae* *te reconnue comme importante dans une large gamme de situations liees par exemplea de nouve* *aux invariants des noeuds, aux groupes quantiques,a la theorie quantique des champs* *, et m^emea l'informatique. . . . Ceci a conduit vers une meilleure comprehension no* *tamment du r^ole joue par la non-associativite de la composition. Le premier papier de * *Baez-Dolan [8] fournit un resume interessant de ces developpements. La these de Tamsamani [98] fournit une definition de n-categorie, ainsi que * *l'equiva- lence entre les n-groupo"ides et les espaces topologiques n-tronques, pour tout* * n. Cette definition permet d'aborder la theorie des n-champs, non necessairement de grou* *po"ides, en utilisant les techniques duesa Quillen qui sonta la base des travaux de Brow* *n, Illusie, Joyal, Jardine et Thomason. Signalonsegalement que d'autres definitions de n-ca* *tegorie ontete proposees, voir Baez-Dolan ([7] [9] quietait independant de [98] et simu* *ltane) ou Batanin ([10], un peu plus tard). Pour l'heure il manque une comparaison ent* *re ces differentes definitions, et comme explique plus haut, nous utilisons une legere* * variante de la definition de Tamsamani. Notre technique de base est celle des cmf, et notre travail aete profondemen* *t influence par des travaux recents en theorie des cmf, ceux de Hirschhorn [59], de Dwyer-H* *irschhorn- Kan [30], aussi ceux de de Goerss-Jardine [46] et de Hovey [61] [60], ainsi que* * par les travaux moins recents de Dwyer-Kan sur la localisation [31] [32] [33] [34]. Remerciements Nous remercions C. Walter, N. Mestrano, Z. Tamsamani, P. Hirschhorn, B. Toen* *, R. Brown, A. Bruguieres, T. Goodwillie, L. Katzarkov, M. Kontsevich, G. Maltsiniot* *is, H. Miller, S. Mochizuki, T. Pantev, J. Pradines, C. Rezk, J.Tapia, C. Teleman, D. * *Toledo pour discussions, correspondances, cours, theses, livres qui ont influence le p* *resent travail. Le deuxieme auteur remercie l'universite de Californiea Irvine pour son hospita* *litea la fin de la preparation de ce papier. Nous remercions nos familles pour leur soutien pendant ce travail. 15 2. Les n-categories de Segal Commencons par fixer quelques notations: les categories d'ensembles, d'ense* *mbles simpliciaux, et d'espaces topologiques sont notees respectivement Ens, EnsSpl e* *t T op. Un ensemble simplicial est un foncteur o ! Ens ou est la categorie dont les ob* *jets sont les ensembles ordonnes p := {00; : :;:p0} et les morphismes sont les appli* *cations croissantes. Si X est un ensemble simplicial on notera Xp sa valeur sur p 2 . * * Si A : o ! C est un foncteur, on notera Ap ou parfois Ap=la valeur qu'il prend sur* * p 2 o. On notera |A| la realisation topologique de l' ensemble simplicial A. Si Y est * *une categorie (i.e. 1-categorie) on notera son nerf Y 2 EnsSpl. On utilisera l'abreviation "c* *mf" pour "categorie de modeles fermee" de [83]. Les definitions qui suivent sont des generalisations de definitions de Tamsa* *mani [98] et Dunn [28], quia leur tour reprenaient des idees de Segal [90] [1]. Voir la c* *omparaison ci-dessous. On definit la notion de n-precat de Segal, et la categorie nSeP C de ces obj* *ets, par recurrence sur n. Un ensemble pourra ^etre considere comme n-precat de Segal: i* *l y aura un foncteur (pleinement fidele) Ens ! nSeP C. Un objet dans l'image de ce fonc* *teur sera appele "un ensemble discret". Pour n = 0, une 0-precat de Segal est par de* *finition un ensemble simplicial; et le foncteur Ens ! 0SeP C associea un ensemble S le f* *oncteur S_: o ! Ens constanta valeurs S. Pour n 1, une n-precat de Segal est un foncte* *ur o ! (n - 1)SeP C note p 7! Ap=, tel que A0=soit un ensemble discret qu'on notera aussi A0. Un mo* *rphisme de n-precats de Segal est une transformation naturelle de foncteurs o ! (n - 1)* *SeP C, ce qui definit la categorie nSeP C. Le foncteur Ens ! nSeP C est celui quia un * *ensemble S associe le foncteur compose S_ o ! Ens ! (n - 1)SeP C: On peut devisser la recurrence dans cette definition. Si on veut suivre les * *notations de Tamsamani [98], une n-precat de Segal est donc un ensemble n + 1-simplicial,* * i.e. un foncteur (o)n+1 ! Ens note (m1; : :;:mn+1) 7! Am1;:::;mn+1, qui satisfait les conditions de constance* * selon lesquelles pour mi= 0 le foncteur est constant en les variables mi+1; : :;:mn+1. Ces conditions de constance peuvent ^etre prises en compte une fois pour tou* *tes en in- troduisant la categorie n+1, quotient de n+1 [94]. On rappelle que n+1 est la c* *ategorie 16 dont les objets sont les suites (m1; : :;:mi) pour i n + 1, avec mi2 et avec * *les iden- tifications (m1; : :;:mj = 0; : :;:mi) =: (m1; : :;:mj-1): L'objet (0; : :;:0) est aussiequivalenta la suite de longueur 0 qui est notee 0* *. Les mor- phismes proviennent des morphismes de avec le changement induit par ces identi* *fica- tions; cf [94] ou [95]. Pour k n et pour M = (m1; : :;:mk) 2 k on note AM= la n - k-precat de Segal (m01; : :;:m0n+1-k) 7! Am1;:::;mk;m01;:::;m0n+1-k: Pour k = 1 ceci concorde avec la notation Ap= introduite plus haut. Une n-precat de Segal peutetre vue comme foncteur (n+1)o ! Ens; sans autre condition (les conditions de constanceetant prises en compte par le * *fait que n+1 est le quotient adequat de n+1). De ce fait, nSeP C appara^it comme la cate* *gorie des prefaisceaux d'ensembles sur n+1, et donc admet toutes les limites et colim* *ites avec petite indexation, ainsi qu'un Hom__interne. En fait, le point de vue le plus utile est un melange des deux points de vue* * du para- graphe precedent: une n-precat de Segal peut (voire doit) ^etre consideree com* *me un foncteur A : (n)o ! EnsSpl note M 7! AM , tel que, pour |M| < n, l'ensemble simplicial AM est un ensemble* * discret. Il est parfois utile de confondre les ensembles simpliciaux et les espaces topo* *logiques, et on obtient essentiellement la m^eme notion en considerant les foncteurs (n)o ! * *T op. On dira que A0 est l'ensemble des objets de A. Pour deux objets x; y 2 A0 on* * notera A1=(x; y) la pre-image de (x; y) 2 A0 x A0 par le morphisme A1=! A0 x A0 induit par les deux applications "faces" de la structure simpliciale. On dira q* *ue A1=(x; y) est la n - 1-precat de Segal des morphismes entre x et y. On utilisera parfois * *cette m^eme notation (qui est assez compacte) pour l'ensemble des morphismes entre deux obj* *ets d'une categorie ou pour l'ensemble simplicial des morphismes entre deux objets d'une * *categorie simpliciale. On definit maintenant les n-categories de Segal, qui sont les n-precats de S* *egal sat- isfaisant certaines conditions de "specialite" generalisant la condition origin* *elle de Segal [88]. Pour formuler ces conditions on a besoin d'une grande recurrence comme da* *ns [98], 17 cf aussi le resume dans [95]. On va definir simultanement par recurrence sur n* *: la condi- tion pour qu'une n-precat de Segal soit une n-categorie de Segal; la condition* * pour qu'un morphisme entre deux n-categories de Segal soit uneequivalence; et l'ensemble * *"tronque" o0 (A) associea une n-categorie de Segal A. D'abord pour n = 0, et par definit* *ion: toute 0-precat de Segal i.e. ensemble simplicial, est une 0-categorie de Segal; un * *morphisme est uneequivalence si c'est uneequivalence faible d'ensembles simpliciaux, i.e* *. s'il induit des isomorphismes entre les groupes d'homotopie (et les ss0) des realisations * *topologiques; et le tronque o0 (A) d'un ensemble simplicial A est l'ensemble ss0(|A|). Pour* * le reste, la recurrence est identiquea celle de Tamsamani [98]: soit n 1 et on suppose * *que les definitions sont disponibles au-niveau n - 1. Soit A une n-precat de Segal, vu* *e comme foncteur A : o ! (n - 1)SeP C; p 7! Ap=: On dira que A est une n-categorie de Segal si les Ap= sont des n - 1-categorie* *s de Segal, et si pour tout p le morphisme de n - 1-precats de Segal Ap=! A1=xA0 : :x:A0A1= est uneequivalence de n - 1-categories de Segal. Ce dernier "morphisme de Sega* *l"etant celui dont les composantes sont les applications duaux aux inclusions {i; i+1}* * {0; : :;:p} dans , voir [89], [1], [28], [98]. Si A est une n-categorie de Segal, alors le foncteur p 7! o0 (Ap=) o ! Ens est le nerf d'une categorie qu'on note o1 (A). On definit o0 (A) comme l'ense* *mble des classes d'isomorphisme de la categorie o1 (A). Si A et B sont des n-categories* * de Segal et f : A ! B est un morphisme (i.e. morphisme de nSeP C) on dira que f est une equivalence si le morphisme induit o0 (A) ! o0 (B) est surjectif (on dira alors que "f est essentiellement surjectif"), et si pou* *r tout couple d'objets x; y 2 A0, le morphisme A1=(x; y) ! B1=(f(x); f(y)) est uneequivalence de n - 1-categories de Segal (on dira alors que "f est plei* *nement fidele"). Comparer avec la notion d'equivalence entre categories simpliciales * *de [34]. C'est seulement pour une n-categorie de Segal A qu'il est raisonnable de co* *nsiderer la n-1-categorie des morphismes entre deux objets A1=(x; y). Une 1-fleche de A es* *t un objet de A1=(x; y). Par iteration on obtient la notion de i-fleche de A [98]. Soit 1* *i2 n l'objet 18 (1; : :;:1) (i fois), image de l'objet (1; : :;:1; 0; : :;:0) 2 n. Une i-fleche* * de A (i < n) est unelement de l'ensemble A1i. Pour i = n, A1n est un ensemble simplicial et une * *n-fleche de A est un sommet (i.e. unelement de la partie de degre 0) de l'ensemble simpl* *icial A1n. Les morphismes faces en la i-ieme variable simpliciale fournissent les applicat* *ions source et but quia une i-fleche associent des i - 1-fleches (une 0-fleche est un objet* * i.e.element de A0). Soit A une n-categorie de Segal. Suivant [98], on dira qu'une i-fleche (i * *1) est inversibleaequivalence pres oua homotopie pres si son image comme 1-fleche dans* * la 1-categorie o1 (A1i-1=) est inversible. Voir [98] pour plus de details. On di* *ra (toujours suivant [98]) que A est un n-groupo"ide de Segal si pour tout 1 i n, toutes l* *es i-fleches sont inversiblesaequivalence pres. Plus generalement, pour 0 k n on dira que* * A est k-groupique si les i-fleches sont inversiblesaequivalence pres pour tout i * *> k. En particulier, A est toujours n-groupique, et A est 0-groupique si et seulement s* *i c'est un n-groupo"ide de Segal. Comparaison avec Tamsamani et Dunn On compare avec [98] et [28]. Tamsamani ([98], 1995) considere les foncteurs (o* *)n ! Ens et leur impose les conditions de constance ainsi que les conditions de Segal cf* * ci-dessous, obtenant la notion de n-categorie (faible). Dans [94], on introduit la notion d* *e n-precat en relaxant toutes sauf les conditions de constance. Une n-precat (resp. n-cate* *gorie de Tamsamani), qui est un foncteur n ! Ens, peut ^etre vue comme une n-precat de S* *egal en composant avec l'inclusion Ens ! EnsSpl. Plus generalement, les n-precats de Segal (resp. n-categories de Segal) tel* *les que les valeurs du foncteur n ! EnsSpl soient des ensembles simpliciaux 0-tronques * *(i.e. reeunion disjointe de composantes contractiles) correspondenta des n-precats (r* *esp. n- categories) par composition avec ss0 : EnsSpl ! Ens. Avec cette traduction, la* * plu- part de nosenonces sur les n-categories de Segal restent vrais mutatis mutandis* * pour les n-categories (la seule exception concerne la propriete de descente_non pres* *ervee par troncation_pour des localisees de Dwyer-Kan, qui ne sont pas tronquees en gener* *al). Nous formulons souvent nosenonces seulement dans le cadre des n-categories de S* *egal, laissant au lecteur le soin d'ecrire lesenonces correspondants pour les n-categ* *ories. En revanche, on reviendra plus loin sur les compatibilites entre les notions de n-* *categorie et n-categorie de Segal (et aussi sur les compatibilites entre differentes valeurs* * de n). Dunn, dans [28] (soumis en 1993, paru en 1996 mais resumant sa these de 1984* *, et qui fait referencea Cobb [23]) considere_entre autres "delooping machines"_le n* *-ieme itere de la machine de Segal dont la categorie sous-jacente est celle des fonct* *eurs A : (o)n ! T op 19 tels que Am1;:::;mn= * si mi = 0 (cf. [28], debut du x3). On pourra appeler c* *es objets "n-precats de Dunn". En remplacant T op par EnsSpl et en passant au quotient, * *on obtient les n-precats de Segal A verifiant AM = * pour |M| < n. Dunn impose aussia ses objets la condition de specialite en chaque variable * *simpliciale ([28] Definition 3.1) et on pourrait appeler les objets qui satisfonta cette co* *ndition, les "n-categories de Dunn". On peut verifier que cette condition co"incide avec la * *condition d'^etre une n-categorie de Segal, dans le cas qu'il considere ou AM = * pour |* *M| < n. En somme, Dunn avait regarde les n-categories de Segal ayant une seule i-fleche po* *ur tout i < n. Les definitions de Dunn et de Tamsamani sont basees sur l'idee d'iterer la c* *onstruction de Segal [88]. Elles sont complementaires comme le sont la tour de Postnikov et* * la tour de Whitehead: chez Dunn (comme chez Whitehead) il s'agit de l'homotopie en degres * * n tandis que chez Tamsamani (comme chez Postnikov) il s'agit de l'homotopie en de* *gres n. La notion de n-precat de Segal permet d'integrer ces deux points de vue. En* * outre, dans les variables "n-categoriques" on peut avoir des fleches non (homotopiquem* *ent) inversibles. Il s'agit donc d'une definition qui permet d'avoir de l'homotopie * *en tout degre, et des fleches non-inversibles en degres n. C'est un avatar de la notion (non* * encore totalementelucidee) de 1-precat qui permettrait d'avoir des fleches non-inversi* *bles en tout degre. Nous avons decide de faire la presente redaction dans le cadre des * *n-precats de Segal, par souci de simplicite et aussi parce que, sur les exemples que nous* * avons en vue, la non-inversiblite des fleches n'entre en jeu que pour un nombre fini de * *degres. L'operation SeCat L'une des idees de base qui permettaient d'obtenir la structure de categorie* * de modeles fermee pour les n-precats dans [94]etait l'operation Cat, qu'on peut resumer tr* *es simple- ment en disant qu'elle force la condition d'^etre une n-categorie. Ce procede s* *'applique de la m^eme facon dans notre cadre des n-precats de Segal: on aura une operation q* *u'on notera A 7! SeCat(A) avec une transformation naturelle iA : A ! SeCat(A), qui transfor* *mera toute n-precat de Segal en n-categorie de Segal. En fait au lieu de fixer precisement l'operation SeCat, on donne la definiti* *on suivante. Definition 2.1 On appellera operation de type SeCat tout couple (F; i) ou F : n* *SeP C ! nSeP C est un foncteur et iA : A ! F (A) une transformation naturelle, possedan* *t les pro- prietes suivantes: (a)_pour tout n-precat de Segal A, F (A) est une n-categorie de Segal; (b)_iA est un isomorphisme sur les ensembles d'objets, et si A est une n-catego* *rie de Segal alors iA est uneequivalence de n-categories de Segal; et (c)_pour toute n-precat de Segal A, le morphisme F (iA) est uneequivalence de n- categories de Segal. 20 Lemme 2.2 Il existe une operation de type SeCat. Si (F 1; i1) et (F 2; i2) * *sont deux operations de type SeCat alors elles sontequivalentes en ce sens que F 1(i2A) : F 1(A) ! F 1(F 2(A)) est uneequivalence de n-categories de Segal pour toute n-precat de Segal A. En * *particulier, si f : A ! B est un morphisme de n-precats de Segal alors F 1(f) est uneequival* *ence de n-categories de Segal si et seulement si F 2(f) l'est. Preuve: Pour l'existence, on peut utiliser une definition analoguea celle de [* *94] qui traite le cas des n-precats (non de Segal) (pour une autre approche, voir la di* *scussion plus loin). Pour les ensembles simpliciaux du dernier degre, il faut remplir t* *outes les "cornes" (extensions anodines de Kan). Pour l'unicite, on utilise la m^eme demo* *nstration que celle de [94] Proposition 4.2. En fait cette demonstration doit ^etre coup* *lee avec la demonstration du theoreme 3.1 dans une recurrence sur n comme c'est fait dans [* *94]. On note que le cas n = 0 est trivialement vrai. Si f : A ! B et si F 2(f) est uneequivalence alors dans le diagramme F1(i2A) 1 2 F 1(A) ! F (F (A)) F1(f)# # F1(F2(f)) F1(i2A) 1 2 F 1(A) ! F (F (A)) la fleche F 1(F 2(f)) est uneequivalence car F 1transformeequivalences de n-cat* *egories de Segal enequivalences d'apres 2.1 (b). Les fleches horizontales sont desequivale* *nces par le resultat d'unicite ci-dessus. Donc F 1(f) est uneequivalence. * * 2 On appellera SeCat toute operation qui satisfait les criteres de la definiti* *on 2.1. Nous donnons maintenant une variante commode, deja presente (pour les n-precats) dan* *s [94] et exploree dans [96] pour les 1-precats de Segal. Pour n = 0 on peut prendre l* *e foncteur identite avec la transformation naturelle identite. Soit n 1 et supposons con* *struite l'operation SeCat pour les n - 1-precats de Segal. Soit A une n-precat de Sega* *l. On definit une n-precat de Segal F ix(A) avec les m^emes objets que A en posant (p* *our p 1) F ix(A)p=(x0; : :;:xp) := SeCat(Ap=(x0; : :;:xp)): Ceci a pour effet de transformer les Ap= en n-categories de Segal. On a un mor* *phisme naturel A ! F ix(A). D'autre part, pour tout m 2 on definit une n-precat de S* *egal Gen[m](A) munie d'un morphisme A ! Gen[m](A) induisant un isomorphisme sur les ensembles d'objets, par ` a Gen[m](A)q=:= Aq=[ q!mAm= G[m] q!m 21 ou Am= !a G[m] !b A1=xA0 : :x:A0A1= est une factorisation du morphisme de Segal, ou a est une cofibration et b unee* *quivalence faible, (qui existe par le theoreme 2.3 qu'on suppose connu pour n - 1). Les co* *produits dans la definition de Gen[m] sont pris avec tous les morphismes q ! m dans qui* * ne se factorisent pasa travers une ar^ete principale 1 ! m. Voir [94] ou [96] pour* * comment definir les morphismes de fonctorialite Gen[m](A)q=! Gen[m](A)p= pour p ! q. Ma* *in- tenant on definit Gen comme le compose pour tout m 2 des Gen[m] et SeCat s'obt* *ient en iterant une infinite denombrable ! de fois le compose F ix O Gen. Cette ope* *ration d'apparence tres ineffective a en realite d'assez bonnes proprietes d'effectivi* *te, voir [96]. On peut voir une n-precat A comme un systeme de generateurs et relations pou* *r definir une n-categorie, et SeCat(A) comme la n-categorie ainsi engendree. La structure de categorie de modeles fermee On definit maintenant la structure de categorie de modeles fermee sur nSeP C. Un morphisme A ! B de n-precats de Segal sera une cofibration si AM ! BM e* *st injectif pour tout M 2 n+1 (cette condition est differente de la condition pour* * les n + 1- precats de [94] car ici nous exigeons aussi l'injectivite pour |M| = n + 1). Un* *e cofibration est donc simplement une injection de prefaisceaux d'ensembles. On dira qu'un morphisme A ! B de n-precats de Segal est uneequivalence faibl* *e si le morphisme SeCat(A) ! SeCat(B) est uneequivalence de n-categories de Segal. Cette propriete est independante du choix de la construction SeCat gr^ace au lemme 2.* *2. Et on dira qu'un morphisme A ! B de n-precats de Segal est une fibration s'i* *l possede la propriete de relevement pour les cofibrations triviales (celles qui sont des* *equivalences faibles). Rappelons ([83]) que, par definition, la propriete de relevement assu* *re que pour toute cofibration triviale E ! E0, et tout paire de morphismes E ! A et E0 ! B * *qui forment un carre commutatif, il existe un morphisme E0 ! A rendant commutatif l* *es deux triangles dans le carre. Theoreme 2.3 Les trois classes de morphismes ci-dessus font de la categorie d* *es n- precats de Segal une categorie de modeles fermee. La demonstration entre dans le cadre plus general de la comparaison entre no* *tions de n-categorie de Segal et/ou n-categorie, pour differentes valeurs de n. On abor* *de cette discussion avant la demonstration de 2.3. 22 Changement de n La categorie de modeles fermee des n-precats de Segal de 2.3 est une sorte d* *e substitut pour la notion d'1-categorie, dans laquelle les i-fleches sont inversiblesaequi* *valence pres, pour i > n. Si on admet l'existence d'une theorie des 1-categories conve* *nable, l'equivalence passera par la construction A 7! 1 O A qui transforme une n-preca* *t de Segal en une 1-precat, avec un 1 qui fait correspondre un 1-groupo"idea tout e* *space topologique ou ensemble simplicial de Kan. Nous ne voulons pas entrer dans les * *details de la notion de 1-categorie ici, car la version "n-categories de Segal" convien* *t pour nos applications. Ce choix est d'autant plus raisonnable qu'on peut construire des * *foncteurs A 7! m;SeO A pour passer de na n + m. Rappelons que Tamsamani [98] a defini un foncteur "n-groupo"ide de Poincare" n : T op ! nCat ou nCat est la sous-categorie pleine de la categorie nP C des n-precats, formee* * des n- categories. Ce foncteur generalise le "groupo"ide de Poincare" 1(X) classique.* * Tam- samani a montre que ce foncteuretablit uneequivalence entre les theories homoto* *piques des espaces topologiques n-tronques (i.e. ou les ssi s'annulent pour i > n) et* * des n- groupo"ides (i.e. n-categories ou les fleches sont inversiblesaequivalence pre* *s). Plus precisement, il a construit un foncteur "realisation topologique" < : nCat ! T op et desequivalences n O < ~= 1 et < O n ~= 1 pour les restrictions de ces foncte* *urs aux categories T opn des espaces topologiques n-tronques et nGpd des n-groupo"i* *des. On adoptera donc le point de vue que les n-groupo"ides peuventetre librement rempl* *aces par les espaces topologiques (ou ensembles simpliciaux) n-tronques. On fait ici quelques remarques qui utilisent des notions qui seront traitees* * plus loin dans le present travail, pour offrir un autreeclairage sur ce resultat d'equivalence* * de Tamsamani (cependant, le lecteur peut s'en passer jusqu'au sigle ""). En appliquant la t* *heorie de Dwyer-Kan [33] qui sera rappelee au x8 ci-dessous, on peut inverser lesequiv* *alences et obtenir des categories simpliciales "localisees" L(T opn) et L(nGpd). Maint* *enant les foncteurs n et < et lesequivalences de Tamsamani, en conjonction avec la propos* *ition 3.5 et le corollaire 3.6 de [32] (cf aussi notre lemme 8.1), donnent uneequival* *ence L(T opn) ~=L(nGpd) de categories simpliciales. On peut pousser un peu plus loin en utilisant nos n* *otations du x11: on note nCAT la n + 1-categorie des n-categories (voir [94]). 11 Notons nG* *P D ________________________________ 11Le lecteur prendra soin de distinguer entre la typographie en majuscules nC* *AT et la typographie qui comporte des minuscules nCat. En effet, nCAT designe la n + 1-categorie des* * n-categories, definie 23 nCAT la sous-n + 1-categorie pleine des n-groupo"ides. Alors nGP D est 1-gro* *upique (i.e. ses n-categories de Hom sont en fait des n-groupo"ides) doncegalea son * *interieur 1-groupique: nGP Dint;1= nGP D. Par le theoreme 11.11 on a L(nP C) ~=L(nP Cf) ~=nCAT int;1: D'autre part, comme on a des remplacements fibrants fonctoriels, toute categor* *ie comprise entre nP C et nP Cf donne la m^eme localisee de Dwyer-Kan; ceci s'applique not* *amment a nP Cf nCat nP C. On obtient ainsi l'equivalence des n + 1-categories L(nCat) ~=nCAT int;1 (plus techniquement, il s'agit ici d'uneequivalence qui passeeventuellement pa* *r des mor- phismes dans les deux sens, car aucune des deux n + 1-precats en question n'es* *t fibrante). La sous-categorie nGpd nCat est definie par une condition invariante parequiv* *alence, donc (par 8.2 ci-dessous) L(nGpd) est la sous-categorie pleine de L(nCat) form* *ee des objets qui sont des n-groupo"ides. Par definition il en est de m^eme pour nGP * *D et donc aussi pour nGP Dint;1. On obtient ainsi l'equivalence L(nGpd) ~=nGP D: Si on applique maintenant la variante (immediate) du theoreme de comparaison d* *e Tam- samani qui donne l'equivalence entre localises de Dwyer-Kan, on obtient uneequ* *ivalence de n + 1-categories L(T opn) ~=nGP D: D'autre part, on peut observer que les ensembles simpliciaux L(T opn)1=(X; Y )* * ont le bon type d'homotopie,a savoir celui de l'espace d'applications Hom__(X; Y ), d* *es que, par exemple, X est un CW-complexe (voir [33] etc). Pour dire les choses autre* *ment, L(T opn) estequivalentea la categorie simpliciale des objets (n-tronques) fibr* *ants et cofi- brants pour n'importe quelle structure de categorie de modeles fermee simplici* *ale pour les espaces topologiques. Donc L(T opn) est "la" n + 1-categorie des espaces n* *-tronques. Cetteequivalence donne donc des precisions sur ce qu'on entend par "les n-grou* *po"ides s'identifient aux espaces topologiques n-tronques". Au vu des remarques precedentes (la version courte aurait suffi), on va dec* *larer qu'un 1-groupo"ide n'est rien d'autre qu'un espace topologique ou ensemble simplicia* *l. Ce point ________________________________ a l'aide de la structure interne cf x11 et ([94] x7); tandis que nCat designe l* *a 1-categorie stricte avec les m^emes objets et les morphismes qui respectent strictement la structure (e* *n particulier, c'est celle-ci qu'avait consideree Tamsamani). On utilise cette m^eme convention pour les cha* *mps plus loin. 24 de vue qui nous guide deja dans la definition des n-categories de Segal nous g* *uide aussi pour comparer ces notions pour differentes valeurs de n. Comme explique au debut de ce chapitre, on peut voir toute n-precat de Sega* *l comme un prefaisceau simplicial au-dessus de n, i.e. un foncteur vers la categorie d* *es ensembles simpliciaux, A : n ! EnsSpl; M 7! AM tel que pour |M| < n l'ensemble simplicial AM est un ensemble discret. De ce point de vue, on peut composer avec le foncteur | | de realisation to* *pologique des ensembles simpliciaux, puis avec le foncteur m de Tamsamani [98]. De faconequi* *valente on peut d'abord appliquer le foncteur Ex1 de Kan pour arriver dans les ensemb* *les sim- pliciaux de Kan, puis la variante adaptee aux ensembles simpliciaux du foncteu* *r m de [98]. Par ces deux procedes (essentiellementequivalents), on obtient une n + * *m-precat qu'on note m O A. Dans l'autre sens, si on a une n + m-precat B, on peut lui appliquer l'oper* *ation n), alors m O n - m). Pour n m on a un morphisme naturel n-m;SeO A ! on (A): En revanche, pour n < m il n'existe pas en general de morphisme A ! Indm;Sen(o* *n (A)) (ni dans l'autre sens). Ceci resulte de l'existence possible de i-fleches non-inve* *rsibles (la notion d'interieur introduite ci-dessous permettra de contourner cette difficulte). C* *ependant, si A est n-tronquee alors on a uneequivalence naturelle ~= m;Se A ! Indn (on (A)): En fait, on peut verifier qu'une m-categorie de Segal A estequivalentea une de* * la forme Indm;Sen(B), ou B est une n-categorie, si et seulement si A est n-tronquee. L'interieur La realisation fournit un moyen de passer d'une n-precat de Segala un ensem* *ble simplicial;ca correspond essentiellementa inverser toutes les fleches pour obt* *enir un 1-groupo"ide qu'on peut voir comme un ensemble simplicial. Cette operation es* *t assez brutale et n'est guere compatible avec les questions de descente. On introdui* *t ici une construction duale (en un sens assez faible), l'interieur d'une n-precat de Se* *gal, qui est bien mieux adaptee aux questions de descente et qui va nous permettre de devis* *ser de facon recurrente la notion de champ en termes d' une notion deja bien connue p* *our les prefaisceaux simpliciaux. 0 Si A est une n-categorie de Segal, on definit l'interieur de A notee Aint;0* *d'abord comme la sous-n-categorie de Segal de A contenant seulement les i-fleches inve* *rsiblesa ho- motopie pres. Plus precisement on dira qu'une i-fleche a 2 A1iest inversiblea * *homotopie pres si l'image de a dans oi A est une i-fleche inversible (rappelons que la c* *omposition * * 0 des i-fleches dans la i-categorie oi A est bien definie, associative, etc.). L* *'interieur Aint;0 * * 0 de A est la sous-n-precat de Segal definie par la condition que a 2 AM est da* *ns Aint;0Msi et seulement si f*(a) est une i-fleche inversiblea homotopie pres, pour tout m* *orphisme 0 f : 1i! M de n+1, pour i n. On voit que Aint;0est une n-categorie de Segal, e* *t plus precisement un n-groupo"ide de Segal. On introduit maintenant 0 Aint;0:= <0 Aint;0; qui est un ensemble simplicial. Cette derniere transformation ne change pas gr* *and-chose 0 int;0 car Aint;0est deja un n-groupo"ide de Segal, et en particulier n;SeO A este* *quivalente 0 a Aint;0. 28 En termes d'1-categories, Aint;0est l'1-groupo"ide universel muni d'un morph* *isme vers A. Plus generalement on definit l'interieur k-groupique Aint;kd'une n-categorie* * de Segal 0 A, pour tout k < n. D'abord0on definit Aint;k A comme la sous-n-precat de Segal* * avec a 2 AM contenu dans Aint;kMsi et seulement si f*a est une i-fleche inversiblea* * homotopie pres pour tout morphisme f : 1i ! M avec k < i n. Autrement dit, c'est seuleme* *nt pour i > k qu' on ne conserve que les i-fleches inversiblesa homotopie pres. Ic* *i encore, 0 on verifie que Aint;kest une n-categorie de Segal k-groupique (i.e. dont les i-* *fleches sont inversiblesa homotopie pres pour i > k). Comme precedemment, on introduit 0 Aint;k:= 0 on va suivre le fil de l'argument de Jardine [63] (qui est en que* *lque sorte resume dans le lemme 2.5). Pour commencer, on impose_comme Jardine_que les cofibrations de n-prechamps de Segal soient les injections, i.e. les morphismes* * A ! B tels que A(X) ! B(X) soit une cofibration pour tout X 2 X . La difference principale avec [63] est qu'il faut donner une definition recu* *rsive (sur n > 0) de l'equivalence faible. On dira qu'un morphisme A ! B de n-prechamps de Segal, ou tous les A(X) et B(X) sont des n-categories de Segal, est uneequivale* *nce faible si: _pour tout X 2 X et tout x; y 2 A0(X) le morphisme A1=(x; y) ! B1=(x; y) est uneequivalence faible de n - 1-prechamps de Segal au-dessus de X =X; et _le morphisme de prefaisceaux d'ensembles o0 A ! o0 B sur X induit une surjecti* *on sur les faisceaux associes. 36 On dira qu'un morphisme A ! B de n-prechamps de Segal est uneequivalence fai* *ble si le morphisme SeCat(A) ! SeCat(B) est uneequivalence faible au sens de la def* *inition ci-dessus. Rappelons que pour n = 0 on a pris l'equivalence d'Illusie comme notion d'eq* *uivalence faible (les definitions ci-dessus n'ayant pas vraiment de sens). On peut observ* *er que ce choix est compatible avec la construction m;SeO A et l'operation de troncation,* * voir le lemme 3.6 et le corollaire 3.7 ci-dessous. Un morphisme de n-prechamps de Segal est une fibration s'il possede la propr* *iete de relevement vis-a-vis des cofibrations triviales. Comparaison avec la topologie grossiere: Notons G la topologie de Grothendie* *ck donnee sur X pour la distinguer de la topologie grossiere. On rappel que la topologie * *grossiere est celle ou la seule crible recouvrant X 2 X est B = X=X (autrement dit pour q* *u'une famille recouvre X il faut qu'elle contient X). On utilisera souvent cette topo* *logie donc il convient de comparer les notions principales pour G et pour la topologie gro* *ssiere. La classe des cofibrations ne depend pas de G. Soit f : A ! B un morphisme de n-pr* *echamps de Segal. Alors: _f est uneequivalence faible pour la topologie grossiere si et seulement si pou* *r tout X 2 X , A(X) ! B(X) est uneequivalence faible de n-precats de Segal; _si f est uneequivalence faible pour la topologie grossiere alors f est une G-e* *quivalence faible; _si f est une G-fibration alors f est une fibration pour la topologie grossiere; _si f est une fibration pour la topologie grossiere alors chaque fX : A(X) ! B(* *X) est une fibration de n-precats de Segal; _(ici on utilise le Theoreme 3.1 ci-dessous) f est une G-fibration triviale si * *et seulement si f est une fibration triviale pour la topologie grossiere. On revient maintenanta la consideration de notre site X avec sa topologie G. Theoreme 3.1 La categorie nSeP Ch(X ) des n-prechamps de Segal avec les trois* * classes de morphismes (cofibrations, G-equivalences et G-fibrations) est une categorie * *de modeles fermee. Pour n = 0 c'est le theoreme de Jardine [63], Joyal [65], K. Brown [19]. On * *peut donc supposer n 1 et supposer par recurrence que le resultat est vrai pour n - 1. Pour la demonstration du Theoreme 3.1 on aura besoin de la notion suivante. * * Soit f : A ! B un morphisme de n-prechamps de Segal. On dira que f est uneequivalence preliminaire si: _le morphisme de prefaisceaux d'ensembles A0 ! B0 induit un isomorphisme entre * *les faisceaux associes; et _pour tout X 2 X et pour chaque suite d'objets x0; : :;:xm 2 A0(X) le morphisme Am=(x0; : :;:xm ) ! Bm=(f(x0); : :;:f(xm )) 37 est uneequivalence faible de n - 1-prechamps de Segal sur X =X. Lemme 3.2 Soit p A ! B # # q 0 A0 ! B un diagramme commutatif de morphismes de n - 1-prechamps de Segal, ou B et B0 * *sont des prefaisceaux d'ensembles. Supposons que le morphisme vertical de droite (q* *u'on note g) induit un isomorphisme entre les faisceaux associes. Alors le morphisme A !* * A0 est uneequivalence faible de n - 1-prechamps de Segal si et seulement si pour tout* * X 2 X et x 2 B(X) le morphisme p-1(x) ! q-1(g(x)) est uneequivalence faible de n-1-prec* *hamps de Segal. C'est une consequence directe de la definition de l'equivalence faible. * * 2 Corollaire 3.3 Un morphisme A ! B de n-prechamps de Segal est uneequivalence preliminaire si et seulement si pour tout m 2 le morphisme Am= ! Bm= de n - 1- prechamps de Segal est uneequivalence faible. Dans ce cas les morphismes A1=xA0 : :x:A0A1=! B1=xB0 : :x:B0B1= sont aussi desequivalences faibles. On note que pour m = 0 c'est la premiere condition pour uneequivalence prelimi* *naire; pour la deuxieme condition on applique le lemme precedent. * * 2 Lemme 3.4 Soit f : A ! B uneequivalence preliminaire de n-prechamps de Seg* *al. Alors f est uneequivalence faible de n-prechamps de Segal. Preuve: Le cas ou les A(X) et B(X) sont des n-categories de Segal est immedia* *t. Il suffit donc de prouver que si f est uneequivalence preliminaire alors il en es* *t de m^eme de SeCat(f) : SeCat(A) ! SeCat(B). Pour ceci on analysera lesetapes decrites d* *ans [94] pour passer de Aa SeCat(A) (la discussion de [94] pour l'operation Cat s'* *adapte directement pour l'operation SeCat, comme on l'a rappele au x2). En outre, il * *s'agit ici de prefaisceaux de n-precats de Segal sur X ; l'operation SeCat est faite obje* *t-par-objet (elle est fonctorielle). La construction SeCat est obtenue en iterant les con* *structions notees F ix et Gen[m] dans [94] et au x2 ci-dessus. L'operation F ix preserve* * le type d'equivalence faible des Am= donc il est clair qu'elle preserve la condition d* *'^etre une equivalence preliminaire. Il s'agit donc de traiter de Gen[m]. 38 L'operation Gen[m] comporte d'abord uneetape notee A 7! A0dans [94], qui pre* *serve le type d'equivalence faible des Ap=. Nous pouvons donc ignorer cette operation* * et noter encore A (resp. B) son resultat. Ensuite on considere un diagramme de la forme g Am= ! G[m](A) ! A1=xA0 : :x:A0A1= ou g est une cofibration triviale de n-prechamps de Segal objet-par-objet (i.e.* * pour la topologie grossiere). (NB la notation G[m] n'a pas de lien avec la notation G * *pour la topologie de Grothendieck, on garde G[m] seulement pour respecter les notations* * de [94].) Maintenant Gen[m](A)p= est le coproduit de Ap= et Am= ! G[m](A) pour divers mor- phismes Am= ! Ap= induits par divers morphismes p ! m. La stabilite des cofibra* *tions G-triviales par coproduit avec des objets cofibrants, pour les n - 1-prechamps * *de Segal, est une consequence du Theoreme 3.1 pour n - 1, via le lemme de Reedy [86]. Don* *c le fait que les morphismes G[m](A) ! G[m](B) et Ap=! Bp= soient desequivalences faibles de n - 1-prechamps de Segal implique qu'il en es* *t de m^eme de Gen[m](A)p= ! Gen[m](B)p=. On obtient par le corollaire 3.3 que Gen[m](A) ! Gen[m](B) est uneequivalence preliminaire. En observant que l'equivalence faib* *le des n - 1-prechamps de Segal et donc l'equivalence preliminaire des n-prechamps de * *Segal est preservee par colimite filtrante, on obtient que SeCat(A) ! SeCat(B) est uneequ* *ivalence preliminaire, donc uneequivalence faible. * * 2 Lemme 3.5 La propriete d'^etre uneequivalence faible est locale: si f : A ! * *B est un morphisme de n-prechamps sur X =X et si B X =X est un crible couvrant X alors f est uneequivalence faible si et seulement si pour tout Y 2 B, f|X=Y est uneequi* *valence faible. Preuve: On raisonne par recurrence sur n. Pour n = 0 c'est une consequence dire* *cte de la definition d'Illusie. Si on suppose que c'est vrai pour n - 1 alors il suffi* *t (au vu de la definition d'equivalence faible) d'observer que le fait que o0 SeCat(A) ! o0 Se* *Cat(B) induise une surjection sur les faisceaux associes est une propriete locale; ce * *qui estevident (on utilise ici les axiomes d'une topologie de Grothendieck). * * 2 Demonstration du theoreme 3.1: Notre preuve est modelee sur l'argument de Ja* *rdine [63] et nous appliquons donc notre lemme 2.5. La propriete (0) est immediate. 39 Il est facile de voir que lesequivalences faibles sont stables sous retracte* *s, par recurren- ce sur n (le cas n = 0 est consequence directe de la definition d'equivalence f* *aible d'Illusie). La stabilite des cofibrations sous retractes est immediate, ce qui donne la con* *dition (1) de 2.5. Pour la propriete "trois pour le prix de deux" ((2) du 2.5), soient f : A ! * *B et g : B ! C deux morphismes. Il est immediat que si f et g sont desequivalences f* *aibles alors gf aussi; et que si gf et g sont desequivalences faibles alors f aussi (o* *n remarque que la premiere condition pour g entraine que le morphisme o0 B ! o0 C induit une i* *njection entre les faisceaux associes, donc la surjectivite essentielle de gf implique c* *elle de f). Il faut montrer que si gf et f sont desequivalences faibles alors g est uneequival* *ence faible. La condition d'essentielle surjectivite estevidente; le probleme est la premier* *e condition (voir la demonstration analogue dans [94], Lemma 3.8). Cette condition est faci* *lea verifier pour des objets x; y 2 B0(X) de la forme x = f(u) et y = f(v) avec u; v 2 A0(X)* *. Pour le cas general, soient x; y 2 B0(X). Alors pour tout Y dans une famille couvran* *te de X on peut trouver des objets uY et vY dans A0(Y ) avec desequivalences i : f(uY ) ~=x|Y ; j : f(vY ) ~=y|Y (ce sont des 1-morphismes dans B(Y )). On peut dire que "la composition avec i* * et j" induit uneequivalence objet-par-objet entre B1=(f(uY ); f(vY ))|X=Y et B1=(x; y* *)|X=Y (pour preciser ceci il faut une discussion analoguea celle precedant le Lemma 3.8 dan* *s [94]). Le fait que ~= B1=(f(uY ); f(vY ))|X=Y ! C1=(gf(uY ); gf(vY ))|X=Y soit uneequivalence implique que B1=(x; y)|X=Y ! C1=(g(x); g(y))|X=Y est uneequivalence. Ceci pour tout Y dans la famille couvrant X. Comme la condi* *tion d'^etre uneequivalence faible est locale (lemme 3.5) on obtient que B1=(x; y)|X=X ! C1=(g(x); g(y))|X=X est uneequivalence, ce qui est la condition cherchee. Si B0 ! B est un morphisme qui possede la propriete de relevement pour toute cofibration A ! A0, alors on obtient en particulier la propriete de relevement * *vis-a-vis des cofibrations de la forme CX ! C0Xou CX est le n-prechamp de Segal engendre libr* *ement par une n-precat de Segal C au-dessus d'un objet X 2 X ; et ce morphisme provie* *nt par la m^eme construction d'une cofibration C ! C0. Un morphisme CX ! B0s'identifie* *a un morphisme C ! B0(X), et donc pour tout X 2 X , B0(X) ! B(X) possede la propriete de relevement vis-a-vis des cofibrations de n-precats de Segal. Ceci implique * *(par 2.3) 40 que B0(X) ! B(X) est uneequivalence faible, donc B0 ! B est uneequivalence faib* *le objet-par-objet i.e. pour la topologie grossiere. On obtient ainsi la condition* * (3) de 2.5. Comme d'habitude nous laissons au lecteur les questions ensemblistes (4) et * *(5) de 2.5. La stabilite des cofibrations par coproduit ((6) du 2.5) est immediate. Il n* *e reste donc qu'a demontrer la stabilite des cofibrations triviales par coproduit, la condit* *ion (7) de 2.5, ce qui occupera le reste de la demonstration (nous laissons au lecteur le soin * *de verifier la stabilite des cofibrations triviales par limite sequentielle). Soient A ! B une cofibration G-triviale et A ! C un morphisme de n-prechamps* * de Segal. Soit P := B [A C. On veut montrer que C ! P est une cofibration G-triv* *iale. Il suffit de montrer que SeCat(C) ! SeCat(P ) est une G-equivalence faible, or * *on sait (Theoreme 2.3) que le morphisme SeCat(B) [SeCat(A)SeCat(C) ! SeCat(P ) est uneequivalence faible objet-par-objet. Le morphisme SeCat(A) ! SeCat(B) est encore une cofibration G-triviale. Quittea remplacer A, B et C par SeCat(A), Se* *Cat(B) et SeCat(C) respectivement, on peut donc supposer que, pour tout X, A(X), B(X) * *et C(X) sont des n-categories de Segal. On traite d'abord quelques cas particuliers. Cas 1. On suppose que A0 ! B0 induit un isomorphisme sur les faisceaux associes* *. Dans ce cas, il est facile de voir que A ! B est uneequivalence preliminaire. Le res* *ultat qu'on est en train de demontrer, applique aux n - 1-prechamps de Segal et combine ave* *c le Corollaire 3.3, implique que C ! B [A C est uneequivalence preliminaire. Le Lem* *me 3.4 implique alors que c'est uneequivalence faible. Cas 2. On suppose que A ! B est uneequivalence faible et que pour tout X 2 X le morphisme A(X) ! B(X) est essentiellement surjectif. On commence par remarquer * *que le present Theoreme 3.1 est immediat dans le cas de la topologie grossiere. Il * *en resulte qu'il existe une factorisation A ! B0! B dans laquelle, pour la topologie grossiere, le premier morphisme est une cofibr* *ation et le deuxieme est une fibration triviale. Soit B00 B0 defini par la condition que po* *ur tout X 2 X , B00(X) B0(X) est la sous-n-categorie de Segal pleine ayant pour objets* * ceux qui sont dans l'image de A0. Le morphisme B00(X) ! B(X) est encore essentiellem* *ent surjectif et pleinement fidele (car B0(X) ! B(X) est uneequivalence de n-catego* *ries de Segal). Donc B00! B est uneequivalence pour la topologie grossiere. Notre morph* *isme se factorisea travers une cofibration A ! B00. Le lemme de Reedy [86] (cf [59] * *[30] [60] [46]), qui s'applique ici car tous les objets sont cofibrants, implique que le * *morphisme B00[A C ! B [A C 41 est uneequivalence pour la topologie grossiere. Il suffit alors de savoir que C ! B00[A C est uneequivalence faible. Le morphisme A0 ! B000est un isomorphisme (et A ! * *B00 est uneequivalence faible car B00est objet-par-objetequivalenta B), donc notre* * Cas 1 s'applique. Fin de la demonstration: On traite maintenant le cas general (avec les m^emes* * notations B A ! C). Soit U0 B0 l'image de A0. Soit U B le sous-n-prechamp de Segal plein ayant U0 comme ensemble d'objets. Par ailleurs, pour X 2 X , soit V0(X) * *le sous- ensemble des objets de B0(X) qui sontequivalentsa un objet de U0(X) et soit V * * B le sous-n-prechamp de Segal plein correspondant. Objet-par-objet, le morphisme* * U ! V est essentiellement surjectif et pleinement fidele, donc notre Cas 2 s'appliqu* *e. Le morphisme A ! U est uneequivalence faible et il est bijectif sur les obj* *ets; donc le Cas 1 s'applique. Enfin le morphisme de prefaisceaux d'ensembles V0 ! B0 induit un isomorphis* *me entre les faisceaux associes: l'injectivite decoule du fait que le morphisme d* *e prefaisceaux est injectif; et la surjectivite decoule du fait que tout objet de B0(X) est l* *ocalement equivalenta un objet qui provient de A0, donc aussi de V0. Et donc le Cas 1 s'a* *ppliquea nouveau. On a ainsi une suite de cofibrations A ! U ! V ! B avec qui les coproduits induisent desequivalences faibles d'apres les cas 1, 2* * et 1 respec- tivement. Ceci prouve que le coproduit le long de A ! B induit lui aussi uneeq* *uivalence faible. * * 2 Compatibilite avec les troncations Soit A un m-prechamp de Segal, et A ! A0 un remplacementequivalent objet-pa* *r- objet tel que les A0(X) soient des m-categories de Segal (e.g. A0 est un remp* *lacement fibrant pour la topologie grossiere). On considere le n-prechamp sur X : on A := X 7! on (A0(X)): On utilise ici le mot "n-precat" dans son sens de [94] et "n-prechamp" pour pr* *efaisceau de n-precats. Remarque: cette construction aete note oprenpar le deuxieme auteur dans d'* *autres papiers; en effet, dans ces papiers on avait reserve la notation on pour le c* *hamp associe 42 (cf x9 et x13 ci-dessous)a opren; mais du point de vue qu'on adopte ici, un pr* *echamp est faiblementequivalenta son champ associe, et on n'a pas besoin de faire cette d* *istinction de notation. Il faudra cependant faire attention que si A est un champ (cf x9)* * alors on A n'est plus forcement un champ. Lemme 3.6 Soit f : A ! B un morphisme de m-prechamps de Segal. Alors f est * *une equivalence faible pour la topologie G si et seulement si, pour tout n, on (A) ! on (B) est une G-equivalence faible de n-prechamps. Preuve: On verifie d'abord que si A et B sont des n-prechamps de n-groupo"ide* *s alors f : A ! B est uneequivalence faible (en utilisant notre definition pour les n-* *prechamps de Segal) si et seulement si <0 A ! <0 B est uneequivalence faible d'Illusie de p* *refaisceaux simpliciaux. On montre ceci par recurrence sur n, on peut donc supposer que c'* *est vrai pour n - 1. Pour x; y 2 A0(X) on a P athx;y<0 A ~=<0 (A1=(x; y)) (objet-par-objet on deduit ceci de [98]), et la m^eme chose pour B. Gr^acea l'* *hypothese de recurrence on obtient que A1=(x; y) ! B1=(fx; fy) est uneequivalence faible si et seulement si P athx;y<0 A ! P athfx;fy<0 B est uneequivalence faible d'Illusie. D'autre part le prefaisceau d'ensembles * *o0 A est isomorphe au prefaisceau d'ensembles ss0 O <0 A, donc on obtient que o0 A ! o0 B induit une surjection entre les faisceaux associes, si et seulement si ss0 O <0 A ! ss0 O <0 B induit une surjection entre les faisceaux associes. On conclut cette partie en* * remarquant qu'un morphisme f : U ! V de prefaisceaux simpliciaux est uneequivalence fa* *ible d'Illusie, si et seulement si (a) pour tout x; y 2 U0(X), P athx;y(U) ! P athf* *x;fy(V ) est uneequivalence faible d'Illusie, et (b) le morphisme ss0O U ! ss0O V induit un* *e surjection entre les faisceaux associes (l'argument pour justifier cette remarque est imm* *ediat). 43 Maintenant on traite le lemme pour m = 0: soit f : U ! V un morphisme de prefaisceaux simpliciaux. On sait que la troncation de Postnikov F !