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 \begin{document}
\linenumbers


 \addtocounter{page}{2}


 

\section{Ejemplos coeficientes de reflexi\'on y transmisi\'on en una fractura}

In this section,  we test the reflection and  transmission coefficients and consider
several cases of interest in reservoir geophysics.
The following cases are taken into account:

\begin{enumerate}

\item[]
{\bf Case 1}: Comparaci\'on m\'etodo capa fina con el sistema 30 de Nakagawa-Schoemberg (2007)
 

\item[]
{\bf Case 2}: Comparaci\'on m\'etodo capa fina con el sistema 52 de Nakagawa-Schoemberg (2007)

\item[]
{\bf Case 3}: Comparaci\'on m\'etodo capa fina con el sistema 53 de Nakagawa-Schoemberg (2007). Cuando la permeabilidad
tiende al infinito.

\item[]
{\bf Case 4}: Analisis de casos con diferente fluido en la fractura.
\end{enumerate} 

 

\subsection{Case 1. Capa fina y sistema 30}

Aqu\'i para la frecuencia de 1000 Hz la longitud de onda es: 3.2030 m en el background y 1.5286 m en la fractura.

Cuando el espesor h=0.001 m es 0.031$\%$  de la longitud de onda en el background y 0.065$\%$ de la longitud
de onda en la fractura. Ver figura \ref{fig:1}.

Cuando el espesor es h=0.00001 m, es 0.00031$\%$ de la longitud de onda en el background y 0.00065$\%$ de la longitud
de onda en la fractura. Ver figura \ref{fig:2}.


\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.38]{Figura_1a.eps}& \includegraphics[scale=0.38]{Figura_1b.eps}\\
a) & b) \\
\includegraphics[scale=0.38]{Figura_1c.eps} & \includegraphics[scale=0.38]{Figura_1d.eps}\\
c)  & d) 
\end{tabular}
\caption{Magnitud coeficientes de reflexi\'on y transmisi\'on para las ondas P tipo I y II,
 para dos valores de permeabilidad, cuando incide una onda P tipo I. El espesor de la fractura es de $h=$0.001 m. a) Incidencia normal y permeabilidad $\kappa =1.0*10^{-10}$ m$^2$ 
b) Incidencia normal y  permeabilidad $\kappa =1.0*10^{-16}$ m$^2$. c) Frecuencia 1000 Hz, permeabilidad $\kappa =1.0*10^{-10}$ m$^2$. 
d) Frecuencia 1000 Hz, permeabilidad $\kappa =1.0*10^{-16}$ m$^2$. }
\label{fig:1}
\end{figure}




\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.38]{Figura_2a.eps}& \includegraphics[scale=0.38]{Figura_2b.eps}\\
a) & b) 
\end{tabular}
\caption{Magnitud coeficientes de reflexión y transmisión para las ondas P tipo I y II,
 cuando incide una onda P tipo I de 1000 Hz. El espesor de la fractura es de $h=$0.00001 m. a) Incidencia normal y permeabilidad $\kappa =1.0*10^{-16}$ m$^2$ 
b) Frecuencia 1000 Hz, permeabilidad $\kappa =1.0*10^{-16}$ m$^2$. }
\label{fig:2}
\end{figure}








\subsection{Case 2. Capa Fina vs sistema 52}

Aqu\'i si la frecuencia es de 10 Hz, la longitud de onda es de 320 m en el background y 152.86 m en la fractura.

Para h=0.001 m, es 3.1*10$^{-4}\%$ de la longitud de onda en el background y 6.5*10$^{-4}\%$ de la longitud de
onda en la fractura.

Cuando la frecuencia es 100 Hz, ya empieza a verse diferencias entre los resultados obtenidos con el metodo de la 
capa fina y el sistema 52, en este caso las longitudes de onda son 32 m en el background y 15.2 m en la fractura.

Para h=0.001 m, es 3.1*10$^{-3}\%$ de la longitud de onda en el background y 6.5*10$^{-3}\%$ de la longitud de
onda en la fractura.

En el caso de h=0.00001 m, no se observan diferencias significativas para las frecuencias en el rango de la s\'ismica. 
Cuando la frecuencia es de 10 Hz, h es 3.1*10$^{-6}\%$ de la longitud de onda en el background y 6.5*10$^{-6}\%$ de 
la longitud de onda en la fractura. Cuando la frecuencia es de 100 Hz, h es 3.1*10$^{-5}\%$ de la longitud
de onda en el background y  6.5*10$^{-5}\%$ de la longitud de onda en la fractura. Ver figura \ref{fig:3}.




\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.38]{Figura_3a.eps}& \includegraphics[scale=0.38]{Figura_3b.eps}\\
a) & b) \\
\includegraphics[scale=0.38]{Figura_3c.eps} & \includegraphics[scale=0.38]{Figura_3d.eps}\\
c)  & d) 
\end{tabular}
\caption{Magnitud coeficientes de reflexion y transmision para las ondas P tipo I, II, para una permeabilidad de 
$\kappa =1.0*10^{-15}$ m$^2$   cuando incide una onda P tipo I. Se obtuvo los coeficientes
de reflexion y transmision para dos valores de $h$, $h=$0.001 m y $h=$0.00001 m. a) Magnitud del coeficiente de reflexion
de la onda P tipo I. b) Magnitud del coeficiente de reflexion de la onda P tipo II. d) Magnitud del coeficiente de 
transmision de la onda P tipo I. e) Magnitud del coeficiente de transmision de la onda P tipo II. }
\label{fig:3}
\end{figure}



\subsection{Case 3. Capa fina vs. sistema 53 (permeabilidad infinita)}


Es caso es similar al anterior, la diferencia es que la permeabilidad tiende al infinito.

En la figura \ref{fig:4} se observa que los resultados obtenidos con la capa fina y los resultados obtenidos con con el
sistema 53 empiezan a a diferenciarse cuando la frecuencia es de 1000 Hz, en el caso de h=0.001 m, donde las longitudes 
de onda son, 3.2 m en el background y 1.528 m en la fractura.

Cuando el espesor h=0.001 m es 0.031$\%$  de la longitud de onda en el background y 0.065$\%$ de la longitud
de onda en la fractura (Para 1000 Hz).

Cuando el espesor de la fractura es h=0.00001 m, esto es 3.1*10$^{-4}\%$ de la longitud de onda en el background y 
6.5*10$^{-4}\%$ de la longitud de onda en la fractura (Para 1000 Hz).



\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.38]{Figura_4a.eps}& \includegraphics[scale=0.38]{Figura_4b.eps}\\
a) & b) \\
\includegraphics[scale=0.38]{Figura_4c.eps} & \includegraphics[scale=0.38]{Figura_4d.eps}\\
c)  & d) 
\end{tabular}
\caption{Magnitud coeficientes de reflexi\'on y transmisi\'on para las ondas P tipo I, II, para una permeabilidad de 
$\kappa \rightarrow \infty $  cuando incide una onda P tipo I. Se obtuvo los coeficientes
de reflexion y transmision para dos valores de $h$, $h=$0.001 m y $h=$0.00001 m. a) Magnitud del coeficiente de reflexion
de la onda P tipo I. b) Magnitud del coeficiente de reflexion de la onda P tipo II. d) Magnitud del coeficiente de 
transmision de la onda P tipo I. e) Magnitud del coeficiente de transmision de la onda P tipo II. }
\label{fig:4}
\end{figure}



\subsection{Case 4. Analisis para diferentes fluidos en la fractura.}

En esta etapa se va a mostrar los cambios que hay con diferentes fluidos en la fractura, cuando en el background hay 
agua. Ver figura \ref{fig:5}


Para el caso de petroleo en la fractura y frecuencia de 50 Hz, las longitudes de onda son,  64.0594 m en 
el background y  16.9346 m en la fractura. Como h=0.001 m, esto es 0.0016$\%$ de la longitud de onda en el background
y 0.0059$\%$ de la longitud de onda en la fractura.


 Para el caso de gas en la fractura y frecuencia de 50 Hz, las longitudes de onda son, 64.0594 m en el background
 y  7.6977 m en la fractura. Como h=0.001 m, esto es 0.0016$\%$ de la longitud de onda en el background
y  0.0130$\%$ de la longitud de onda en la fractura.
    

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.38]{Figura_5a.eps}& \includegraphics[scale=0.38]{Figura_5b.eps}\\
a) & b) 
\end{tabular}
\caption{Magnitud coeficientes de reflexi\'on y transmisi\'on para las ondas P tipo I, II y las ondas de corte,
 cuando incide una onda P tipo I de 50 Hz. El fluido en el background es agua. El espesor de la fractura 
es de $h=$0.001 m y su la permeabilidad es $\kappa=1.0*10^{-10}$ m$^2$. 
a) Petroleo en la fractura  b) Gas en la fractura. }
\label{fig:5}
\end{figure}

 









\newpage
 
\begin{table} %add [H] placement to break table across pages
 \caption{Baseline material properties used for the numerical examples are shown.\label{table:1}}
 \begin{center}
 
 \begin{tabular*}{12cm}{l@{\extracolsep{\fill}} c c }
\hline
\hline
     Properties &  Matrix  & Fracture  \\
    \hline
    Porosity & 0.15  & 0.5 \\
    Solid density  (kg/m$^{3}$) & 2700 & 2700  \\
    Solid bulk modulus (Pa) & 36.0*10$^{9}$ & 36.0*10$^{9}$ \\
    Frame bulk modulus (Pa) & 9.0*10$^{9}$ & 5.56*10$^{7}$\\
    Frame shear modulus (Pa) & 7.0*10$^{9}$ & 3.33*10$^{7}$\\
    Permeability (m$^2$) & 1.0*10$^{-13}$ &  1.0*10$^{-10}$ (case 1, 4) \\
                          &               &  1.0*10$^{-16}$ (case 1)\\
                          &               &  1.0*10$^{-15}$ (case 2)\\
                          &               &  $\infty$ (case 3)\\
    Tortuosity      & 3 & 1 \\
\hline
\hline
% Lines of table here ending with \\
 \end{tabular*}
 \end{center}
 \end{table}
\
\begin{table} %add [H] placement to break table across pages
 \caption{Saturant fluids.\label{table:2}}
 \begin{center}
 
 \begin{tabular*}{12cm}{l@{\extracolsep{\fill}} c c c }
\hline
\hline
     Properties &  Gas  & Water & Oil  \\
    \hline
    Density  (kg/m$^{3}$) & 139.8 & 1000 & 700  \\
    Fluid viscosity (Pa*s) & 0.000022 & 0.001 & 0.004 \\
    Fluid bulk modulus (Pa)& 0.05543*10$^{9}$ & 2.25*10$^{9}$ & 0.57*10$^{9}$ \\
\hline
\hline
% Lines of table here ending with \\
 \end{tabular*}
 \end{center}
 \end{table}
   

 
 \end{document}
 
  
